Leonardo Fibonacci, un matematico rivoluzionario

di Angelo Mastroianni (Liceo Scientifico e Linguistico “A. Landi” di Velletri & Associazione Velletri 2030)

Fibonacci e il Liber Abaci

Il 23 novembre è passato da qualche giorno, ma è una data che ricorda una storia interessante: quella di Leonardo Pisano, un matematico vissuto nel 1200. Essendo della famiglia Bonacci, è divenuto celebre come “figlio di Bonacci”, o “Fibonacci”.

La data del Fibonacci-day non è legata a vicende biografiche di Leonardo, ma alle cifre 11 e 23 (23 novembre scritto alla maniera anglosassone: 11/23, come accade per il pi greco-day, approssimato a due cifre decimali dal numero 3,14: 3/14, 14 marzo). Osservando le singole cifre, senza dar loro un significato particolare, si intravede l’inizio di una celebre sequenza numerica: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ecc…

È facile trovare il criterio con cui è costruita: escludendo i due numeri uno, posti per iniziare, tutti gli altri numeri della sequenza si ottengono dalla somma dei due precedenti: 1 + 1 = 2;  1 + 2 = 3  ;  2 + 3 = 5, ecc. Volendo essere pignoli, come a volte fanno i matematici, si potrebbe partire anche da 0 e 1 con lo stesso criterio di somma dei due precedenti: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ecc.

Questa sequenza è nota col nome di successione di Fibonacci, perché venne introdotta come soluzione di un suo quesito divenuto celebre. Ma se Fibonacci viene ancora ricordato dopo circa 8 secoli, non è certamente solo per questa sequenza numerica (che, comunque, ha un ruolo importante in vari settori). Il contributo di Fibonacci nella storia della matematica è stato ben più fondamentale: a lui dobbiamo la grande svolta avvenuta nell’aritmetica e nell’algebra nel nostro mondo.

Con la sua opera più celebre, il Liber Abaci, Fibonacci introdusse in Occidente l’uso dei cosiddetti “numeri arabi”: le cifre da 0 a 9 (che in realtà sono riconducibili alla matematica indiana), con enormi e immediati vantaggi rispetto alle scarse possibilità di calcolo offerte dai numeri romani. È evidente la conseguenza principale di tale scelta: una facilitazione enorme per la matematica applicata (economia, scambi commerciali di ogni tipo, organizzazione della società, nascita di nuovi mestieri) e parallelamente una spinta in avanti per la matematica pura e, secoli dopo, per la fisica.

È sufficiente provare a immaginare di eseguire in numeri romani i semplici calcoli che tutti noi abbiamo imparato alle scuole elementari, per rendersi conto di come la notazione con le cifre e il loro significato posizionale (decine, centinaia, migliaia, ecc.), nonché l’introduzione della cifra 0, abbiano permesso un enorme salto di qualità nella gestione anche dei

calcoli più complessi. Non è esagerato quindi affermare che “l’introduzione di questa possibilità nella società dell’Occidente latino del XIII secolo è paragonabile a quella del calcolatore elettronico a metà del XX secolo. È davvero una rivoluzione” (C. Zeccara, in AA. VV.: La storia della matematica in classe, Mateinitaly, 2025).

Oltre ai fondamenti dell’aritmetica con i numeri indo-arabi, il Liber Abaci conteneva vari concetti di matematica applicata, utili per i calcoli usati dai mercanti dell’epoca; problemi di natura varia del tipo “giochi matematici” e concetti più astratti legati a quella che nelle scuole odierne chiamiamo “algebra”.

I numeri di Fibonacci in Natura

Tra i giochi matematici del Liber Abaci, quello che diede origine alla sequenza di Fibonacci è il famoso problema della riproduzione dei conigli: un uomo mise una coppia di conigli in un luogo circondato da tutti i lati da un muro. Quante coppie di conigli si producono supponendo che ogni mese ogni coppia produca una nuova coppia in grado di riprodursi a sua volta dal secondo mese? La risposta è proprio la sequenza di Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ecc.

Sono molte le proprietà interessanti dei numeri di Fibonacci. Per apprezzarne la profondità servirebbe un po’ di formalismo matematico, che qui non abbiamo il tempo di sviluppare. Per questo scopo, un ottimo testo divulgativo di riferimento è il libro del fisico Mario Livio: La Sezione Aurea, Rizzoli, 2003. Una di queste però, forse la più interessante, vale la pena di essere ricordata: il legame tra i numeri di Fibonacci e il celeberrimo rapporto aureo, cioè il numero irrazionale   (che vale 1,618034…), che è spesso usato da artisti e architetti per le caratteristiche di eleganza che dà alle proporzioni, ma che viene sfruttato efficacemente anche da Madre Natura. Il legame è molto semplice: se calcoliamo i rapporti tra coppie di numeri consecutivi della serie, il risultato di tale divisione si avvicina al rapporto aureo. Man mano che si avanza nella successione di Fibonacci, tali rapporti sono sempre più vicini a 1,618 e per numeri di Fibonacci molto elevati, il loro rapporto diventa praticamente indistinguibile da 1, 618034!

Coppie di numeri di Fibonacci consecutivi si trovano in alcuni fiori, o nel numero di foglie che crescono sui rami. Inoltre il numero aureo a cui tendono i rapporti di numeri di Fibonacci è legato alle proporzioni delle spirali che ritroviamo spesso nelle forme naturali di conchiglie o vegetali.

La traiettoria percorsa dagli uccelli predatori è spesso una spirale. Gettandosi in picchiata in linea retta, infatti, l’uccello non riuscirebbe a fissare sempre la sua preda, data la posizione delle sue pupille.

Affidiamo la conclusione di queste riflessioni alle parole del grande Paul Dirac, la cui indagine fisica, guidata anche da una sorta di “estetica” delle equazioni che usava, lo ha reso uno dei più influenti fisici teorici del novecento:

“Il matematico gioca un gioco in cui egli stesso inventa le regole, il fisico gioca un gioco in cui la Natura sceglie le regole. Ma appare sempre più evidente che le regole che la Natura sceglie sono quelle che il matematico trova interessanti”                               (Paul Audrien Maurice Dirac)